Hàm phức và phép biến đổi Laplace


Chương 1. Hàm giải tích

Giải tích phức là một bộ phận của toán học hiện đại có nhiều ứng dụng trong kỹ thuật. Nhiều hiện tượng vật lý và tự nhiên đòi hỏi phải sử dụng số phức mới mô tả được. Trong chương này chúng ta tìm hiểu những vấn đề cơ bản của giải tích phức: Lân cận, giới hạn, hàm phức liên tục, giải tích, tích phân phức, chuỗi số phức, chuỗi lũy thừa, chuỗi Laurent…

Chương 2. Phép biến hình bảo giác

Chương 3. Lý thuyết thặng dư

Chương 2 và chương 3 tiếp tục nghiên cứu Hàm biến phức nhưng cụ thể hơn là: Phép biến hình bảo giác và lý thuyết thặng dư. Đây là hai vấn đề quan trọng, là cơ sở để nghiên cứu phép biến đổi Laplace trong chương 4.

Chương 4. Phép biến đổi Laplace

Nhiều vấn đề trong kỹ thuật, trong điện tử viễn thông, trong lý thuyết mạch…, đưa về giải các phương trình, hệ phương trình chứa đạo hàm, tích phân của các hàm nào đó, nghĩa là phải giải các phương trình vi phân, tích phân hay phương trình đạo hàm riêng. Việc giải trực tiếp các phương trình này nói chung rất khó. Kỹ sư Heaviside là người đầu tiên đã vận dụng phép biến đổi Laplace để giải quyết các bài toán liên quan đến mạch điện. Phép biến đổi Laplace biến mỗi hàm gốc theo biến thành hàm ảnh theo biến . Với phép biến đổi này việc tìm hàm gốc thoả mãn các biểu thức chứa đạo hàm, tích phân (nghiệm của phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng…) được quy về tính toán các biểu thức đại số trên các hàm ảnh. Khi biết hàm ảnh, ta sử dụng phép biến đổi ngược để tìm hàm gốc cần tìm.

2 phản hồi

  1. Chào bạn,
    bạn cho mình hỏi về ví dụ sau:
    cho hệ phương trình vi phân:
    m1 x1″ + c1 x2′ + k1 x3 = 0
    m2 x2″ + c2 x3′ + k2 x1 = 0
    m3 x3″ + c3 x2′ + k3 x1 = 0
    biến đổi Laplace x1=X1(s),x2=X2(s),x3=X3(s), ta có:
    s^2 m1 X1 + s c1 X2 + k1 X3=0
    s^2 m2 X2 + s c2 X3 + k2 X1 = 0,
    s^2 m3 X3 + s c3 X2 + k3 X1 = 0
    giải hai phương trình cuối ta tìm được
    X2 = ((-
    c2 k3 X1 + k2 m3 s X1)/(s(-c2 c3 + m2 m3 s^2)),
    X3 = (-((c3 k2 X1 – k3 m2 s X1)/(s(c2 c3 – m2 m3
    s^2))
    thay vào phương trình đầu tiên, ta được
    (c3(-k1 k2 + c2 m1 s^3) + s(c1 c2 k3 + k1 k3 m2
    - c1 k2 m3 s – m1 m2 m3 s^4))X1) / (c2 c3 s – m2 m3 s^3)=0
    câu hỏi của mình là:
    Liệu ta có thể viết phương trình trên như thế này được không?tại sao?
    (c3(-k1 k2 + c2 m1 s^3) + s(c1 c2 k3 + k1 k3 m2
    - c1 k2 m3 s – m1 m2 m3 s^4))X1)=0
    Cảm ơn bạn nhiều

  2. Chào bạn,
    bạn cho mình hỏi về ví dụ sau:
    cho hệ phương trình vi phân:
    \!\(m1\ x1\^″ + c1\ x2\^′ + k1\ x3 = 0\[IndentingNewLine]
    m2\ x2\^″ + c2\ x3\^′ + k2\ x1 = 0\[IndentingNewLine]
    m3\ x3\^″ + c3\ x2\^′ + k3\ x1 = 0\)

    biến đổi Laplace x1=X1(s),x2=X2(s),x3=X3(s), ta có:

    s^2 m1 X1 + s c1 X2 + k1 X3=0
    s^2 m2 X2 + s c2 X3 + k2 X1 = 0,
    s^2 m3 X3 + s c3 X2 + k3 X1 = 0

    giải hai phương trình cuối ta tìm được

    \!\(X2 = \(\(-
    c2\)\ k3\ X1 + k2\ m3\ s\ X1\)\/\(s\ \((\(-c2\)\ c3 + m2\ m3\ s\^2)\)\), \
    X3 = \(-\(\(c3\ k2\ X1 – k3\ m2\ s\ X1\)\/\(s\ \((c2\ c3 – m2\ m3\ \
    s\^2)\)\)\)\)\)

    thay vào phương trình đầu tiên, ta được

    \!\(\(\((c3\ \((\(-k1\)\ k2 + c2\ m1\ s\^3)\) + s\ \((c1\ c2\ k3 + k1\ k3\ m2 \
    - c1\ k2\ m3\ s – m1\ m2\ m3\ s\^4)\))\)\ X1\)\/\(c2\ c3\ s – m2\ m3\ s\^3\)\)=0

    câu hỏi của mình là:

    Liệu ta có thể viết phương trình trên như thế này được không?tại sao?

    \!\(c3\ \((\(-k1\)\
    k2 + c2\ m1\ s\^3)\) + s\ \((
    c1\ c2\ k3 \(\[AliasDelimiter]\(\(\(\(+k1\)\
    k3\ m2 – c1\ k2\ m3\ s – m1\ m2\ m3\ s\^4\)\()\)\)\()\)\)\ X1\)\)\)=0

    cảm ơn bạn nhiều nhé!

Bình luận đã được đóng.

%d bloggers like this: